Factorización

     La factorización es una expresión algebraica que mediante factores o divisores permiten simplificar en términos más simples para su manipulación. En la expresión (a + ab) es posible factorizar ya que en cada término se tiene la letra “a”, por lo tanto, al factorizar se tiene que (a + ab) = a(1 + b), si se realiza la multiplicación de los factores a(1 + b) se obtiene como producto la primera expresión (a + ab).

Tipos de factorización

        En líneas generales, podemos hablar de dos tipos de factorización: la factorización de números enteros y la factorización de expresiones algebraicas.

        - Factorización en números primos: Todo número entero se puede descomponer en sus factores primos. Un número primo es aquel que es divisible únicamente entre 1 y el mismo. Por ejemplo, el 2 solo se puede dividir entre 1 y 2. Podemos descomponer un número dado X como la multiplicación de sus factores primos. Por ejemplo, el número 525 es igual a la multiplicación de 52.3.7.

        - Factorización de expresiones algebraicas: El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores polinomiales simples. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:

                                                    

Los factores son: 

¿ Cómo factorizar ?: Cuando hablamos de factorizar, podemos seguir las siguientes recomendaciones:

1. Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes términos.
2. Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades de factorización.
3. Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.
4. Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.

Factorización de un número

        Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

Factorización de un monomios

        Por inspección se puede encontrar los factores de 6abc que corresponden a 2, 3, a, b y c. Por lo tanto:12abc = (2)(3)(a)(b)(c) Como se puede observar el número 6 se descompuso en los términos obtenidos mediante el mcm (mínimo con un múltiplo).

Factorización de binomios

Los binomios factorizables son:

1. La factorización de la diferencia de dos cuadrados (x2-y2) es: 

Ejemplo: 

2. La factorización de la diferencia de dos cubos (x³-y³) es: 

Ejemplo:  

3. La factorización de la suma de dos cubos (x³+y³) es: 

Ejemplo: 

Factorización de un polinomio

      Muchas de las factorizaciones se pueden realizar por inspección, en otras palabras, observando los términos del polinomio y verificar si se tiene algún factor en común.

        Como se puede observar el propósito de la factorización consiste en encontrar un factor común en los términos dados. También el factorizar permite agrupar términos para obtener una expresión algebraica simplificada. 

- Por ejemplo se quiere factorizar:x (a + 1) – a – 1. 

- Primeramente se puede observar que agrupando – a – 1 se tendría un factor común al término x (a + 1), por lo tanto, al agrupar se tiene: x (a + 1) – (a + 1).

- Observar que el término (a + 1) se puede representar como (1)(a + 1). 

- Ahora es posible agrupar los términos (a + 1), obteniendo: (x – 1)(a + 1).

De está manera se manipula la expresión para la solución de ecuaciones más simples.

Los pasos a seguir para factorizar un polinomio y hallar sus raíces son:

1º Sacar factor común en el caso de que no haya término independiente. 

2º Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio. 

3º Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio. 

4º Trinomio de segundo grado. 

5º Polinomio de grado superior a dos.

 

Sacar factor común: Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1 

Doble extracción de factor común:

x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2.

Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.

Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

Polinomio de grado superior a dos: Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1. Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3. Dividimos por Ruffini.

4. Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

        Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

        El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras. El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio: 2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

A continuación un vídeo donde explican de forma resumida y sencilla el tema: